Wie berechne ich den Flächeninhalt bzw. die Höhe eines Dreiecks aus?
Also, ich habe folgende Längen angegeben:
a= 3,8cm
b= 5,1cm
c= 4,4 cm
Dadurch habe ich folgende Winkel errechnet:
alpha= 9,46 Grad durch Kosinussatz
beta= 113,5 Grad durch Sinussatz
gamma= 57,04 Grad durch Winkelsummensatz
Daraus soll ich jetzt den Flächeninhalt ausrechnen. Dafür brauche ich meines Wissens folgende Formel: A= 1/2 •h•g
Aber wie kriege ich jetzt h bzw g raus? Ich soll laut meinem Lehrer alles rechnerisch und nicht mehr zeichnerisch lösen.
Erklärungen wären lieb:)
2 Antworten
Nutze die Heronsche Flächenformel, dann kannst Du auf Winkel und Höhe verzichten:
A = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
mit
s = (a + b + c) / 2
In einem allg. Dreieck mit der Grundseite c, den Höhenfußpunktabschnitten c – p und p und der Höhe h_c auf c gilt (Pythagoras):
(1) h² = a² – p²
(2) h² = b² – (c – p)²
Gleichsetzen und nach p umgestellt führt zu:
(3) p = (a² – b² + c²) / (2 * c)
(1) umgestellt (3. Binom) und p eingesetzt:
(4) h² = (a + p) * (a – p) = (a + (a² – b² + c²) / (2 * c)) * (a - (a² – b² + c²) / (2 * c))
(4) h² = (1 / (4 * c²)) * [(a + c)² – b²] * [b² – (a – c)²]
(4) h² = (1 / (4 * c²)) * (a + b + c) * (a + c – b) * (a + b – c) * (b + c – a)
Setze:
(5) 2 * s = a + b + c
(6) 2 * (s – c) = a + b – c
(7) 2 * (s – b) = a + c – b
(8) 2 * (s – a) = b + c – a
(9) h² = (1 / (4 * c²)) * 2 * s * 2 * (s – b) * 2 * (s – c) * 2 * (s – a)
(9) h² = (4 / c²) * s * (s – b) * (s – c) * (s – a)
(10) h = (2 / c) * √(s * (s – a) * (s – b) * (s – c))
(11) A = (1 / 2) * c * h
(12) A = √(s * (s – a) * (s – b) * (s – c))
einfacher als man denkt :))
du hast beta , du hast a . Rechtwinklig DrEck : Welche trigono Beziehung ?
: Very Funfact : funkioniert natürlich auch mit alpha und b
Darf ich fragen, wie du die Formel hergeleitet hast?