Uneigentliches Integral lösen?

Natürlich ist die Rechnung noch nicht fertig, aber das müsste falsch sein.

Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

[mihisu]

Wie kommst du darauf, dass das falsch sei. Das ist bis dahin doch richtig.

$\int\limits_{0}^{\infty}x\cdot\text{e}^{-x}\,\text{d}x$

$=\lim\limits_{b\to\infty}\int\limits_{0}^{b}\underbrace{x}_{u(x)}\cdot\underbrace{\text{e}^{-x}}_{v'(x)}\,\text{d}x$

$=\lim\limits_{b\to\infty}\left(\left[\overbrace{x}^{u(x)}\cdot\overbrace{\left(-\text{e}^{-x}\right)}^{v(x)}\right]_{0}^{b}-\int\limits_{0}^{b}\overbrace{1}^{u'(x)}\cdot\overbrace{\left(-\text{e}^{-x}\right)}^{v(x)}\,\text{d}x\right)$

$=\lim\limits_{b\to\infty}\left(-b\cdot \text{e}^{-b}-\int\limits_{0}^{b}\left(-\text{e}^{-x}\right)\,\text{d}x\right)$

$=\lim\limits_{b\to\infty}\left(-b\cdot \text{e}^{-b}-\left[\text{e}^{-x}\right]_{0}^b\right)$

$=\lim\limits_{b\to\infty}\left(-b\cdot \text{e}^{-b}-\left(\text{e}^{-b}-1\right)\right)$

$=\lim\limits_{b\to\infty}\left(\underbrace{-b\cdot \text{e}^{-b}}_{\to 0}-\underbrace{\text{e}^{-b}}_{\to 0}+1\right)$

$=1$

====== Ergänzung: Bild zur Veranschaulichung eines Kommentars ======

Irgendein Text... Es soll eine Formel folgen...

$\int\limits_{0}^{\infty}x\cdot e^{-x}\,\text{d}x$

Bild:

Dabei habe ich übrigens in den Einstellungen, also bei...

https://www.gutefrage.net/einstellungen/darstellung

... die Option „Vereinfachten Formeleditor deaktivieren und Formeln direkt als LaTeX eingeben“ aktiviert, um mehr Gestaltungsmöglichkeiten zu haben.

Comments

[shibuyo]

Frage hat sich doch geklärt.

[shibuyo]

Was benutzt du für eine Software, dass du alles so schön aufschreiben kannst?

Danke!

[mihisu]

@shibuyo

Da habe ich keine besondere Software genutzt. Ich habe das mit dem Formeleditor von gutefrage.net aufgeschrieben.

[Halbrecht]

@mihisu

aber doch nicht IM Editor hier ?

[mihisu]

@Halbrecht

Ich habe den Editor hier auf gutefrage.net genutzt.

Siehe auch: Ergänzung am Ende meiner Antwort.