Mathe falsche Beweisrichtung?
Schaut euch mal folgenden Beweis mittels vollständiger Induktion an:
Unser Prof streicht das durch und gibt keine Punkte, wegen falscher Beweisrichtung.
Man müsse entweder vom Roten aufs Lilane kommen (Lila nicht verändern) oder bei 0 = 0 anfangen und dann rückwärts, also von unten nach oben beweisen. Warum geht das nicht auch so? Ich fände es sehr schwer, die rechte Seite einfach so zu lassen.
Genau das gleiche auf für A_1: Da müsse man auch bei 0 = 0 anfangen oder schreiben, dass es trivial sei...
2 Antworten
Du setzt "rot" und "lila" von Anfang an gleich und rechnest auf beiden Seiten so lange rum, bis was Gleiches da steht. Man sollte aber bei "rot" anfangen und dann so lange umformen, bis "lila" dasteht.
Mathematisch hast du meiner Meinung nach nichts grob Falsches gemacht, du hättest aber über die Gleichheitszeichen (ausser über dem letzten) Fragezeichen setzen sollen. Man sollte besser die Darstellung liefern, die dein Prof will.
Ja, das ist oft etwas schwerer. Aber du kannst dich mit einem Trick behelfen:
auf einem Schmierpapier rechnest du so, wie du es oben gemacht hast. Daran siehst du schonmal, dass es funktioniert.
Beim Formulieren des Beweises gehst du dann "streng" vor.
Du setzt voraus, dass die Aussage für n gilt
Dann schreibst du die Summe der Quadrate bis (n+1)² auf.
Die Summe der Quadrate bis n² kannst du laut Induktionsvoraussetzung durch die Formel ersetzen, das ergibt dann den roten Kasten.
Von da aus rechnest du dann weiter, bis du zum lila Kasten kommst, indem du dich deiner Nebenrechnung auf dem Schmierpapier bedienst.
Dass du es vorher so gerechnet hast wie oben, weiß ja niemand.
In Beweisen wird das oft gemacht, z.B. wenn man zeigt, dass ein Term kleiner Epsilon ist.
Man wundert sich oft, wie man "darauf kommt", Nε gerade so zu setzen, und tatsächlich erweist sich der Term für n > Nε dann kleiner ε, und nicht kleiner als ein komplizierter Ausdruck.
Das hat man aber vorher in einer Nebenrechnung ausgetüftelt. Man tut im Beweis nur so, als sei man auf dieses "geniale" Nε gekommen. ;-)
Hättest du mal brav deine Äquivalenzpfeile gesetzt...
Dann soll dein Prof mal Mathematik lernen...
Was kann man mehr wollen, als dass die Aussage äquivalent zu wahr ist?
Das ist aber etwas anderes als die Unfähigkeit <=> nur in eine Richtung lesen zu können
Man kann also nicht sagen, dass wenn die letzte Gleichung gilt dann auch die erste gilt?
Bei Gleichungen ist es völlig egal.
Aber eine Induktion hat doch folgende Logik: Wenn A gilt, gilt B. Z.B. Wenn P(n) wahr ist, dann ist auch P(n+1) wahr.
Gehe ich aber von P(n+1) aus und schließe auf P(n), wäre das etwas anderes.
In diesem Fall der Fragestellung sind das jetzt nur Gleichungen, so dass das tatsächlich äquivalent ist (immer dann wenn P(n) wahr, dann auch P(n+1) wahr, also kann ich es auch umdrehen, aber dann ist es wohl keine Induktion mehr). Aber die Induktionsmethode passiert auf der Implikation, ich gehe nur in eine Richtung.
Aber wie gesagt, ich bin kein Induktionschef. Ggf. missverstehe ich das auch. Aber so viel ich weiß, gelten für Induktion die Regeln der Implikation und nicht die Äquivalenz.
Uns wurde erklärt, dass wir nicht aus der rechten Seite folgern können, da wir ja beweisen sollen, dass sie gilt. Deckt sich also mit deiner Erklärung. Aber bei Gleichungen... Naja
Ja schon, er will halt dass man bei einer offensichtlich wahren Aussage anfängt. Aber von Rot auf Lila zu kommen finde ich viel schwerer :(