Ist die Menge M kompakt?
Ist M={(x,y) | x^2+y=1} Teilmenge von R^2 kompakt? Wenn ja, warum ist sie beschränkt bzw. wie geht man da vor?
Danke im Voraus.
3 Antworten
Nein, ich denke nicht. Im R^n ist eine Menge genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Deine Menge M ist abgeschlossen. Sie ist das Urbild der abgeschlossenen Menge {1} unter der stetigen Abbildung x²+y.
Sie ist allerdings nicht beschränkt. Das sieht man relativ leicht, weil du einen betragsmäßig beliebig großen, aber negativen y-Wert einsetzen kannst, und das wieder mit dem passenden x-Wert zu eins korrigieren kannst. Sprich: Du findest keinen abgeschlossenen Ball, der deine Menge M enthält.
Das kann man nochmal ein bisschen schöner formulieren, indem man sich eine einfache Metrik sucht und da konkret für einen beliebigen abgeschlossenen Ball einen Punkt angibt, der außerhalb des Balls liegt. Aber ich denke du kannst dir das schön genügend visualisieren um das Argument zu verstehen.
Wenn Du eine unbeschränkte Folge in M finden kannst, dann ist M nicht beschränkt => nicht kompakt.
Eine Folge in R^2 sieht ja so aus: (a_n, b_n), wobei a_n und b_n von dem natürlichen Index n abhängen.
Machen wir es uns so einfach wie möglich und setzen a_n = n.
Wie muss jetzt b_n aussehen, damit (a_n, b_n) zu M gehört?
b_n = 1-n^2 oder?
Was wäre hier eine unbeschränkte Folge?