Ich brauche Hilfe?

Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter. Ich brauche Hilfe.

Answer 1

[mihisu]

Ich würde eine Geradengleichung für die Rohrmitte aufstellen, und dann den Abstand zwischen dieser Rohr-Geraden und der Bohrer-Geraden berechnen.

Wenn der Abstand kleiner als Bohrer-Radius + Rohr-Radius ist, so würde der Bohrer das Rohr beschädigen.

====== Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

Das Rohr verläuft parallel zur x₂-Achse, so dass man (0; 1; 0) als Richtungsvektor für die Rohrgerade verwenden kann. Als Stützpunkt der Rohr-Gerade kann man (-0,05; 0; 1,55) verwenden, da das Rohr in 1,55 m Höhe (--> entsprechende x₃-Koordinate) und 5 cm = 0,05 m nach hinten in die Wand hinein versetzt (--> entsprechende x₁-Koordinate) verläuft. Demnach ist eine mögliche Gleichung für die Gerade, welche den Verlauf der Rohr-Mitte beschreibt...

$h:\quad \vec{x}=\begin{pmatrix}-0\text{,}05\\0\\1\text{,55}\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad s\in\mathbb{R}$

Zur Abstandsberechnung dieser Geraden h zur Geraden g kann man zunächst einen entsprechenden Normalenverktor n anhand der Richtungsvektoren berechnen...

$\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-10\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot 1-0\cdot \left(-1\right)\\0\cdot \left(-10\right)-0\cdot 1\\0\cdot \left(-1\right)-1\cdot \left(-10\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\10\end{pmatrix}$

$\left\lvert \vec{n}\right\rvert=\sqrt{1^2+0^2+{10}^2}=\sqrt{101}$

Und dann den gesuchten Abstand als Längenanteil der Differenz der Stützpunkte (oder beliebiger andere Punkte der Geraden) parallel zu dieser Richtung berechnen...

$d=\frac{\left\lvert \left(\begin{pmatrix}-0\text{,}05\\0\\1\text{,}55\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\1\text{,}53\end{pmatrix}\right)\cdot \vec{n}\right\rvert}{\left\lvert \vec{n}\right\rvert}$

$d=\frac{\left\lvert \begin{pmatrix}-0\text{,}05\\-2\\0\text{,}02\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\10\end{pmatrix}\right\rvert}{\sqrt{101}}$

$d=\frac{\left\lvert \left(-0\text{,}05\right)\cdot 1+\left(-2\right)\cdot 0+0\text{,}02\cdot 10\right\rvert}{\sqrt{101}}$

$d=\frac{\left\lvert -0\text{,}05+0\text{,}2\right\rvert}{\sqrt{101}}$

$d=\frac{\left\lvert 0\text{,}15\right\rvert}{\sqrt{101}}$

$d=\frac{0\text{,}15}{\sqrt{101}}\approx 0\text{,}0149$

Der Abstand der Geraden beträgt also etwa 0,0149 m.

Wie groß ist zum Vergleich die Summe aus Bohrer-Radius und Rohr-Radius?

$r_\text{Bohrer}+r_\text{Rohr}=\frac{d_\text{Bohrer}}{2}+\frac{d_\text{Rohr}}{2}$

$\quad=\frac{6\,\text{mm}}{2}+\frac{1\text{,}5\,\text{cm}}{2}$

$\quad=3\,\text{mm}+0\text{,}75\,\text{cm}$

$\quad=0\text{,}003\,\text{m}+0\text{,}0075\,\text{m}$

$\quad=0\text{,}0105\,\text{m}$

Das ist weniger als der zuvor berechnete Abstand d, sodass der Bohrer das Rohr nicht treffen wird.

Comments

[Elisa278]

Danke. Aber wieso (0/1/0) und nicht (0/1,55/0)

[mihisu]

@Elisa278

Das ist doch nur ein RIchtungsvektor der Geraden. Beim Richtungsvektor ist die Länge egal, den kann man skalieren wie man möchte, Hauptsache die Richtung passt. Es ist vollkommen egal, ob man da (0; 1; 0) oder (0; 1,55; 0) oder (0; 7; 0) oder (0; -13; 0), etc. verwendet. Ich habe eben (0; 1; 0) verwendet, da 1 eine „schöne“, „einfache“ Zahl ist.

Wie kommst du denn darauf, dass dort 1,55 stehen müsste. Die 1,55 kommen doch von der Höhe, in der das Rohr verläuft. Das hat doch erst einmal eine andere Bedeutung, und betrifft auch offensichtlich eher die x₃-Koordinate statt die x₂-Richtung.

[Elisa278]

Meine Gerade ist g:XML (0/5/155) +t•[0/0/—1,5). Wie bestimme ich den Abstand ?

[mihisu]

@Elisa278

Der Richtungsvektor ist falsch. Das Rohr verläuft offensichtlich parallel zur x₂-Richtung. Die von dir aufgestellte Gerade verläuft jedoch parallel zur x₃-Richtung.

Außerdem ist das Koordinatensystem laut Angabe so gewählt, dass eine Längeneinheit gleich 1 m ist. Dementsprechend müsstest du 0,05 und 1,55 statt 5 und 155 bei deinem Sützpunkt stehen haben.

Außerdem ist das Rohr weiter hinten in der Wand, sodass dann (unter Berücksichtigung wie die x₂-Richtung der Skizze nach gewählt wurde) mit -0,05 statt +0,05 für die x₂-Koordinate des Stütvektors gerechnet werden muss.

Außerdem ist es nicht gut, die neue Gerade ebenfalls g zu nennen. Da kommt man dann durcheinander, da ja bereits die Bohrer-Gerade g heißt.

[mihisu]

@Elisa278

Ich habe übrigens inzwischen einen Lösungsvorschlag ergänzt.

Zur Abstandsberechnung windschiefer Geraden gibt es im Internet mehr als genug Anleitungen. Du kannst ja einfach mal nach „Abstand windschiefer Geraden“ suchen. Siehe beispielsweise...

• https://studyflix.de/mathematik/abstand-windschiefer-geraden-2008
• https://simpleclub.com/lessons/mathematik-abstand-windschiefer-geraden-ueber-hilfsebene

[Die von mir verwendete Methode passt zu der Methode, die auch bei der verlinkten studyflix-Seite beschrieben wird.]

Bzw. steht dazu bestimmt etwas in deinen Unterrichts-Aufzeichnungen bzw. in deinem Mathe-Buch. Dann hast du eine bekannte Methode, statt irgendwo eine andere (dir evtl. unbekannte) Methode zu finden, die dann nicht genauso geht, wie ihr im Unterricht gelernt habt, was dich evtl. verwirren könnte.