Bestimmen Sie alle positiven ganzen Zahlen n, für die n, n+4 und n+8 Primzahlen sind?
Hey,
ich sitze an der Aufgabe schon eine ganze Weile, bis jetzt habe ich nur eine Excel Tabelle zu Stande gebracht wo ich einige Kombinationen gefunden habe..... das sind nur halt sehr viele und ich frage mich ob ich nicht vielleicht irgendwas übersehen habe :(
Ich hoffe auf eure Hilfe LG
3 Antworten
Die Antwort lautet also: Die Zahl n = 3 ist die einzige positive ganze Zahl, für die gilt, dass sowohl n als auch n + 4 als auch n + 8 Primzahlen sind.
Ist ja auch logisch. Alle Zahlen, die durch 3 teilbar sind, können keine Primzahlen sein. Also können nur solche Zahlen Primzahlen sein, bei deren Teilung durch 3 ein Rest 1 oder 2 übrigbleibt.
Wenn aber eine Primzahl um 4 erhöht wird, bei deren Teilung durch 3 ein Rest 2 verbleibt, dann hat man ja einen Rest 2 + 4 = 6, und der ist wiederum durch 3 teilbar, so dass logischerweise n + 4 durch 3 teilbar ist.
Wenn man eine Primzahl hat, bei deren Teilung durch 3 ein Rest 1 verbleibt, könnte es schon passieren, dass n + 4 immer noch eine Primzahl ist. Aber n + 8 ist dann garantiert keine Primzahl mehr, weil der Rest 1 zusammen mit der 8 dann 9 ergibt, und somit die Zahl n + 8 durch 3 teilbar ist.
n muss aber doch keine Primzahl sein. n muss doch nur positiv und ganz sein.
Wenn du das mal mit ein paar Primzahlen durchrechnest, erhält man ein paar "Testreihen":
2; 6; 10
3; 7; 11
5; 9; 13
7; 11; 15
11; 15; 19
17; 21; 25
usw.
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Es fällt auf, dass die fett markierten Zahlen allesamt durch 3 teilbar sind. Jede dieser unendlich vielen Zahlenreihen hat an einer Stelle eine Zahl, die durch 3 teilbar ist, und das macht die Reihe ungültig, wenn diese Zahl an zweiter oder dritter Stelle steht.
Also muss die durch 3 teilbare Zahl an erster Stelle stehen; die einzige Reihe, die das erfüllt, ist 3; 7; 11.
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Nun liegt es noch an dir, zu beweisen, dass wirklich jede dieser Reihen eine Zahl an zweiter oder dritter Stelle besitzt, die durch 3 teilbar ist; denn sonst würde diese Argumentation nicht gelten.
Das kannst du beispielsweise mit Divisionsresten machen:
Wenn n+4 oder n+8 bei Division durch 3 den Rest 0 liefern, dann...
Wenn n+4 oder n+8 bei Division durch 3 den Rest 1 liefern, dann...
Wenn n+4 oder n+8 bei Division durch 3 den Rest 2 liefern, dann...
n ist entweder durch 3 teilbar, oder hat bei Division durch 3 entweder einen Rest von 2 oder einen Rest von 2.
Es gibt also 3 Fälle:
n = 3m + 0 -> dieses n ist durch 3 teilbar. außer n = 3 sind alle Zahler, die durch 3 Teilbar sind, nicht prim.
n = 3m + 1. In diesem Fall ist n + 8 = 3m + 9 durch 3 teilbar, also nicht prim.
n = 3m + 2. In diesem Fall ist n + 4 = 3m + 6 durch 3 teilbar, also nicht prim
es bleibt also 3
Also wäre bei dieser Formel : n , n+k , n+(2k)
n = 3 unter der Bedingung dass die Ergebnissse alle eine Primzahl seien müssen, richtig?