Bereich der unnatürlichen/komplexenZahlen?
Wenn man die Wurzel aus -1 z.b. nimmt, dann gibt es ja eine Lösung i im Bereich der unnatürlichen/komplexen Zahlen
Kann mir das jemand genauer erklären?
2 Antworten
Den Begriff "unnatürlich" gibt es in diesem Zusammenhang nicht, man spricht von reellen und komplexen Zahlen, das ist schon der richtige Ausdruck.
Wie Du schon richtig sagst gibt es keine reelle Zahl x, die die Gleichung
erfüllt.
Deshalb erfindet man eine Lösung, die imaginäre Einheit i, und fügt sie den reellen Zahlen hinzu.
Jetzt haben wir also mit i eine Zahl, mit der gilt:
und dazu eine ganz neue Zahlenmenge, die komplexen Zahlen. Eine komplexe Zahl besteht aus einer reellen Zahl und aus einem Vielfachen von i:
a und b sind reell, a wird Realteil, b wird Imaginärteil genannt. Wenn b = 0, dann haben wir wieder eine reelle Zahl.
In den komplexen Zahlen kann man jetzt mit den üblichen Rechenregeln rechnen. Wann immer bei einer Rechnung i^2 auftaucht, kann man es durch -1 ersetzen.
Reelle Zahlen kann man auf einem Zahlenstrahl darstellen. Komplexe Zahlen, mit ihren beiden Komponenten, kann man in einer Ebene einzeichnen, der Gausschen Zahlenebene.
Polardarstellung
Die Schreibweise oben
nennt man kartesische Darstellung ("Gehe a nach rechts, und b nach oben, da ist die komplexe Zahl.")
Da wir aber in einer Ebene sind, können wir eine Zahl auch so angeben:
"Stelle Dich in die Null, drehe Dich um den Winkel phi, und gehe r Schritte geradeaus."
Und das ist dann die neue Darstellung:
e ist die Eulersche Konstante, i unsere imaginäre Einheit, phi der Winkel, um den wir uns drehen müssen, und r die Länge der Strecke, die wir geradeaus gehen müssen. Schau Dir dazu am besten dieses Bild an.
Du musst das nicht alles genau verstehen, Du musst nur mitnehmen dass man komplexe Zahlen eben auch mit Winkel und Radius, man sagt, in Polarkoordinaten, angeben kann.
So. Jetzt gibt es ein berühmtes Resultat, das besagt:
Das zu erklären sprengt jetzt den Rahmen, aber so kommt man auf die Schreibweise mit Sinus und Cosinus.
Ich hoffe das hilft :)
Ja, habe ich :)
Das, was ich Dir gerade erklärt habe, kannst Du in einer Analysis-Grundvorlesung im ersten Semester lernen.
Wenn man sich für komplexe Zahlen interessiert kann man Funktionentheorie studieren, eines der faszinierendsten und erstaunlichsten Teilgebiete der Mathematik.
ja ich freue mich schon auf mein mathe studium
Kann mir das jemand genauer erklären?
Nein - ich kann das zumindest nicht.
Die Gleichung √-1 = i ist eine Definition und als solche erstmal zur Kenntnis zu nehmen. Warum eine solche Definition sinnvoll ist, muss der Umgang mit komplexen Zahlen und die damit erzielbaren Ergebnisse zeigen.
Jede weitere "Erklärung" führt zum Begriff eines Körpers bzgl. der Addition und Multiplikation (mit den üblichen Körpereigenschaften, der Bedingung, dass ℝ eine Teilmenge von ℂ ist und der Forderung, dass ein Element i existiert, mit i² = -1)
bei dem rechenweg auf der app " photomath" war dann auch noch sinus und cosinus mit klammern