Berechnung einer Aufgabe?

Wie komme ich bei dieser Aufgabe auf dieses Ergebnis? (Ohne Taschenrechner)

Answer 1

[mihisu]

====== Hinweise ======

Die Quadratwurzel kann man auch als Potenz mit Exponent 1/2 schreiben...

$\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}$

Zu einer Potenzfunktion, welche durch...

$f(x)=x^{k}$

... mit k ≠ -1 gegeben ist, ist durch ...

$F(x)=\frac{x^{k+1}}{k+1}$

... eine mögliche Stammfunktion gegeben.

====== Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

$\int\limits_{0}^{3}\sqrt{x}\,\text{d}x=\int\limits_{0}^{3}x^{\frac{1}{2}}\,\text{d}x=\left[\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{0}^{3}=\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\quad\frac{3}{2}\quad}\right]_{0}^{3}=\left[\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{3}$

$\quad=\frac{2}{3}\cdot 3^{\frac{3}{2}}-\underbrace{\frac{2}{3}\cdot 0^{\frac{3}{2}}}_{=0}=\frac{2}{3}\cdot 3^{\frac{3}{2}}=\frac{2\cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3}$

$\quad=2\cdot \frac{3^{\frac{3}{2}}}{3}=2\cdot \frac{3^{\frac{3}{2}}}{3^1}=2\cdot 3^{\frac{3}{2}-1}=2\cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Answer 2

[ShimaG]

Erstmal die Stammfunktion von Wurzel(x) ausrechnen. Das ist 2/3 * x^(3/2). Dann obere Grenze einsetzen, da kommt dann

$\frac{2}{3}\cdot3^{\frac{3}{2}}\mid=\frac{2}{3}\cdot3\cdot3^{\frac{1}{2}}=2\cdot3^{\frac{1}{2}}$

'raus. Der Wert an der unteren Grenze ist 0, also ist das schon das Endergebnis.

Comments

[Sunnyshinne]

Wie komme ich auf das ^1/2?

[ShimaG]

@Sunnyshinne

3^(3/2) = 3^(1 + 1/2) = 3^1 * 3^(1/2) = 3 * 3^(1/2)

Du solltest dir Potenzgesetze echt nochmal anschauen.