√3 ist eine irrationale Zahl Beweis?

Bei dieser Behauptung macht man ja einen Widerspruchsbeweis, wo es 3=a²/b² heißt. Jedoch kann ich nicht so ganz begreifen, warum es 3b²=a² ist und wie es zustande kommt. Könnte mir es bitte jemand erklären?

Answer 1

[nobytree2]

Allgemein

$\sqrt{n}=\frac{p}{q},\ sei\ \frac{p}{q}vollständig\ gekürzt$

$n=\frac{p^2}{q^2}$

$nq^2=p^2\to n\ teilt\ p^2$ $Wenn\ n\ \in\mathbb{P}\ \left(also\ \Pr imzahl\right),\ dann\ n\ teilt\ p^2\to n\ teilt\ p$ Also können wir schreiben: p = kn

$p^2=\left(kn\right)^2=k^2n^2\ und\ p^2=nq^2\to k^2n^2=nq^2\to q^2=k^2n$

n teilt also auch q² und damit q.

Wenn n jetzt ungleich 1 (und eine Primzahl, siehe oben), dann war p/q damit nicht vollständig gekürzt. Demnach sind Wurzeln aus Primzahlen nicht rational.

Das ganze lässt sich noch etwas erweitern auf andere Zahlen als Primzahlen.

Wichtig ist diese Implikation

$\left(n\ |\ z^2\right)\to\left(n|z\right)\ .\to also\ wenn\ n\ z^2\ teilt,\ dann\ auch\ z.$

Untersuchen wir mal die Fälle, wo es nicht stimmt, also

$\left(n|z^2\right)\ \wedge\ \left(n\ teilt\ nicht\ z\right)$

$z=\Pi p_i,\ p_i\in\mathbb{P}\to z^2=\Pi p_i^2$

Wenn nun n z² teilt, nicht aber z, dann ist n kein der p, auch kein Produkt einer Teilmenge von diesen. Es muss also noch ein weiteres p aus z² hinzutreten, dass kann nur ein p sein, welches bereits in z ist, also ein p². Wenn also n eine Primzahl im Quadrat enthält, dann funktioniert das ganze nicht. Z.B. für n = 4. Auf diese Weise ist auch n>1 herleitbar.

Answer 2

[Uwe65527]

Beide Seiten der Gleichung mit b² multiplizieren.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math.