Stochastik (Hypergeometrische Verteilung)?
Ich kann den Lösungsweg überhaupt nicht nachvollziehen. Können Sie mir schrittchenweise die Lösung in sehr einfachen Worten erklären?
Aufgabe:
Tipp:
Lösung:
Ich kann mir zudem auch nicht die eingesetzten Werte erschließen. Wie sieht die allgemeine Formel aus und wie wurde hier eingesetzt?
(Ich brauche eine hilfreiche Antwort, da dies zur Vorbereitung meiner Matheabiturprüfung dient.)
1 Antwort
Ein klein wenig klarer wird es vielleicht mit einem Beispiel wie im Wikipedia-Artikel zur hypergeometrischen Verteilung:
Hier geht es nur um eine einzige Anzahl gelber Kugeln (4).
In der Urne befinden sich gelbe und nichtgelbe Kugeln. "Treffer" heißt hier "genau 4 gelbe Kugeln". Wahrscheinlichkeit hierfür: Anzahl der möglichen "Treffer" geteilt durch Anzahl der möglichen Ziehungen.
Zunächst einmal betrachten wir diese Gruppen getrennt voneinander.
Für die Treffer brauchen wir zuerst einmal die Anzahl der Möglichkeiten, 4 gelbe Kugeln aus den 20 gelben Kugeln zu ziehen. Das sind binomial(20;4)
Aber wie viele Möglichkeiten gibt es, überhaupt 0 bis 10 gelbe Kugeln zu ziehen? Bis hierher könnte man noch einfach aufsummieren. Doch dann brauchen wir noch den Nenner, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen - wie viele verschiedene Ziehungen gibt es jeweils insgesamt?
Das hängt offensichtlich stark von der Menge der nichtgelben Kugeln ab. Also müssen wir uns auch um diese kümmern.
Wir ziehen insgesamt 10 Kugeln; damit wir 4 gelbe haben, müssen 6 nichtgelb sein.
"Treffer" bedeutet also zusätzlich: "6 nichtgelbe Kugeln".
Allein auf die nichtgelben Kugeln bezogen, haben wir binomial(25;6) mögliche Treffer.
Gelbe und nichtgelbe Kugeln sind unabhängig voneinander. Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten ist also das Produkt.
Damit haben wir
binomial(20;4) * binomial(25;6)
verschiedene Möglichkeiten, "Treffer" zu ziehen.
Jetzt müssen wir noch die Gesamtzahl der möglichen Ziehungen ermitteln. Wir könnten natürlich alle Werte von binomial(20;0)*binomial(25;10) bis binomial(20;10)*binomial(25;0) aufsummieren. Das wird bei größeren Stichproben aber ziemlich viel Arbeit.
Glücklicherweise gibt es eine 1:1-Beziehung zwischen diesen Ziehungen und den Ziehungen von 10 Kugeln aus 45 Kugeln. D. h., durch diese Überlegung können wir schließen, dass
binomial(20;0)*binomial(25;10) + ... + binomial(20;10)*binomial(25;0) = binomial(45;10)
Damit haben wir die Formel für die Hypergeometrische Verteilung.
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In dieser Aufgabe haben wir mehrere Anzahlen schwarzer Kugeln für "Treffer". Wir müssen die Wahrscheinlichkeiten für diese Möglichkeiten also aufaddieren.
0 schwarze ist NICHT möglich - es werden 7 gezogen und es sind nur 5 nichtschwarze vorhanden. Wahrscheinlichkeit = 0.
1 schwarze ist NICHT möglich. Wahrscheinlichkeit = 0.
2 schwarze IST möglich:
Wahrscheinlichkeit = binomial(5;2) * binomial(5;5) / binomial(10;7)
3 schwarze IST möglich
4 schwarze ist zwar möglich, aber kein "Treffer" mehr. Ebenso 5 schwarze.
Wir brauchen also nur die Wahrscheinlichkeiten für 3 schwarze und für 4 schwarze zu addieren. Genau das wird in der Musterlösung gemacht.
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In diesem Fall kommt man auch einfacher auf die Lösung (zugegeben, auf diesen Lösungsweg bin ich auch erst gekommen, als ich die Lösung gesehen habe):
Das Problem ist symmetrisch. Es gibt ja ebenso viele schwarze wie nichtschwarze Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass Toms Partner(in) höchstens 3 mal den Müll runterbringen muss, ist dieselbe, wie die, dass Tom es tun muss.
Insgesamt gibt es 7 Kugeln; beide zusammen sind genau 7-mal dran. "Weniger als 4-mal" bedeutet auch, "weniger als die Hälfte von 7-mal". Genau die Hälfte von 7-mal kann nicht vorkommen - es sind ja alles ganze Zahlen.
Wahrscheinlichkeit von "weniger als die Hälfte von 7-mal" + Wahrscheinlichkeit von "mehr als die Hälfte von 7-mal" = 1
P(Tom<3,5) + P(Tom>3,5) = 1
Andererseits:
P(Tom>3,5) = P(Partner<3,5)
Sowie wegen der Symmetrie:
P(Partner<3,5) = P(Tom<3,5)
Einsetzen:
P(Tom<3,5) + P(Tom<3,5) = 1
Auflösen nach P(Tom<3,5):
P(Tom<3,5) = 1/2
