"Periode" Terme berechnen?
Der Term ist auf dem Bild : https://goo.gl/photos/CGQx9ctfk8YL2YNs7
Die Buchlösung ist -7/3
Wie soll ich sowas wie 2,6666666..... lösen ?
Danke!
5 Antworten
Hallo,
wenn Du 2,p6 (Periode 6) mit 10 multiplizierst, bekommst Du
26,p6
10*2,p6=26,p6
Ziehst Du von 26,p6 2,p6 ab, verschwindet das ganze Gedöns mit den unendlich vielen Sechsen hinter dem Komma und Du bekommst die Zahl 24 heraus.
26,p6-2,p6=24
Wenn Du von 10*2,p6 einmal 2,p6 abziehst, behältst Du 9*2,p6 übrig.
Das aber ist 24.
9*2,p6=24
2,p6=24/9=8/3 nach Kürzen durch 3.
Herzliche Grüße,
Willy
Letzten Endes musst du dir klarmachen,m was sich hinter den ===> Grenzwerten ===> unendlicher Reihen versteckt. Weil ich würde es gerne sehen, wenn du einsiehst: Periodische Dezibrüche sind die Summen ===> geometrischer Reihen.
.333 ... = 3/10 + 3/100 + 3/1 000 + 3/10 000 ....... ( 1 )
Die Reihe ( 1 ) hat Anfangsglied a1 = .3 = 3/10 und Quotient q = 1/10; für den Wert s ihrer Summe findest du im Bronstein
s = a1 / ( 1 - q ) = ( 2a )
3/10
= --------------------- = ( 2b )
1 - 1/10
= 3 / ( 10 - 1 ) ( 2c )
( Der Doppelbruch in ( 2b ) wurde mit 10 erweitert. )
s = 3/9 = 1/3 ( 2d )
Prinzipiell kannst du dir auch bei vielen periodischen Zahlen ihre Bruchdarstellung herleiten:
Beispiel: 2,666666....
2,66666....=x
26,66666...=10x
10x-x=9x=26,66666-2,6666666=24
->x=24/9
So geht das bei allen Zahlen.
Du musst nur die Zehnerpotenz (oben war es 10) so wählen dass du eine Periode vor das komma ziehst.
bsp. 1,234234234...=x
1000x=1234,234....
Allgemein: hat die periode länge n (1. Beispiel: n=1, 2.bsp.: n=3)
dann musst du mit 10^n multiplizieren.
Der Rest ist schlichte rechnerei.
x =Periodenzahl setzen
(10^n)*x "berechnen"
Damit dann (10^n)*x-x=(10^n-1)*x berechnen.
Und die ganze gleichung nach x umstellen.
Siehe obige beispiele.
Wenn du das 2,3 mal gemacht hast, vergisst du das nie wieder.
Und da du nun die periodenzahl als bruch darstellen kannst, ist deine ursprüngliche Aufgabe zu einfacher bruchrechnung geworden. :-)
2,666666 → in einen Bruch umwandeln:
- die Periode ist 6 → dafür schreibst du 6/9
- 2 Ganze → damit lautet der Bruch 2 6/9 = 2 2/3 = 8/3
Also gilt: 2,6.... = 10/3
Analog dazu gilt 0,3... = 3/9 = 1/3
Den Rest solltest du schaffen!
Hi,
anbei ein Lösungsvorschlag.
Gruß
0,999999... sind 0,3333.... + 0,3333....+ 0,3333........
= 1/3+1/3+1/3 = 1.
Wenn du einmal per Hand die Division 1 : 3 und 2 : 3 gemacht hast, wirst du das dein Leben lang nicht vergessen. ;-)
Man merkt sich natürlich nicht alle möglichen, aber halt ein paar einfache, wie 1/6 = 0,16666...., 1/11 = 0,09090909....., oder umgekehrt, wenn man auf eine Periode aufmerksam gemacht wird, kann man versuchen, den Bruch ganzer Zahlen zu finden.
Z.B. die Division durch 7 hat immer die gleiche Periode, nur versetzt:
1/7 = 0,142857 142857 ...
2/7 = 0,285714 285714.... usw.
P.S. Bei der Aufgabe hier wurde auf den Bruch 1/3 ja schon aufmerksam gemacht, weil der Bruch 1/3 explizit vorkommt.
Selbst wenn man die Periode nicht (mehr) kennt, wurde man hier mit der Nase draufgestoßen. Dir war einfach der Zusammenhang nicht mehr bewusst. Wenn du nun in Zukunft eine ähnliche Aufgabe bekommst, wirst du dich an diese Aufgabe erinnern und dann wirst du sie lösen, weil du den Zusammenhang jetzt wieder kennst.
ganz allgemein kann man periodische Dezimalzahlen über die Summenformel für die geometrische Reihe in einen Bruch umwandeln.
0.99999. ist z.B eine geometrische Reihe mit a0=9/10 und q=1/10
s= 9/10 (1+q+q^2+q^3 +...)=9/10*(1/(1-1/10)).
Das ergibt einen Bruch, den man leicht ausrechnen kann.
Das geht auch mit periodischen Dezimalzahlen mit Periodenlängen größer als 1. q hat dann einfach einen anderen Wert. Es ist leicht heraus zu finden, welchen.
Okay - heißt es, dass man sich 0,666... = 2/3 und 0,333... = 1/3 merken muss ? Mal angenommen, wir haben 0,999... wie wandle ich das in Bruch um ?