Logarithmen?

Hallo,

Ich habe eine paar Fragen zu dem Logarithmus, beziehungsweise zu meinen Gedankengängen dazu.

Exponentialgleichungen:

Um diese zu lösen, setzt man ja den Logarithmus ein. Also beispielsweise beim Beispiel 4 (hoch x +1) = 5 (2x + 1) würde man den „vierer“ Logarithmus einsetzen. Was ich mich aber hier Frage, was ich eigentlich „wirklich“ ausrechne: Wenn ich beispielsweise den Logarithmus zu 8 von der Basis zwei berechne, dann berechne ich ja den Exponenten. In diesem Beispiel jedoch, berechne ich ja das x, welches bei der Potenz vorhanden ist. Ist dann die Lösung für x auch der Exponenten für den „vierer Logarithmus“, also, wenn ich beispielsweise für x zwei herausbekommen hätte (im 1. Beispiel), würde das gleichzeitig heißen, dass der Logarithmus von 4 hoch 3 (1 + 2) dann 2 wäre? Ist etwas schwer zu erklären, was ich meine, aber was rechne ich eigentlich aus, die x Potenz, den Exponenten vom jeweiligen Logarithmus oder ist beides zur gleichen Zeit dasselbe?

Answer 1

[Rammstein53]

Bei der Anwendung des Logarithmus für die Lösung von Exponentialgleichungen spielt die Basis des Logarithmus i.A. kein Rolle.

$4^{x+1}\ =\ 5$ $\ln\ \left(\ 4^{x+1}\right)\ =\ \ln\left(5\right)$ $\left(x+1\right)\cdot\ln\left(4\right)\ =\ \ln\left(5\right)$

$x=\frac{\ln(5)-\ln(4)}{\ln\left(4\right)}$

Im Fall der Gleichung:

$4^{x+1}\ =\ 10x+5$

hilft der Logarithmus jedoch nicht weiter:

$\ln\ \left(4^{x+1}\right)\ =\ \ln\ \left(10x+5\right)$ $\left(x+1\right)\cdot\ln\left(4\right)\ =\ \ln\left(10x+5\right)$

Eine Lösung findet man nur mithilfe der Lambertschen W-Funktion f(x) = x*e^x

Answer 2

[ultrarunner]

Du berechnest immer den gesamten Exponenten.

Wenn der Exponent x+1 lautet, dann kommt dir eben x+1 heraus.

Beispiel:

2^x+1 = 16

x + 1 = 4 (wegen 2⁴ = 16)

x = 3