c_1 = c_2 = c / 2 (Seitenhalbierende)

s_c mittels Kosinussatz in Dreieck ADC (α, c_1 und b bekannt)

γ_1 und γ_2 mittels Sinussatz

Ergänzung:

Aus der Aufgabenstellung geht nicht eindeutig hervor, ob bei a) γ_1, γ_2 und s_c gesucht sind. Man kann die Aufgabe auch so interpretieren, dass w_α sich auf a) und s_c sich auf b) bezieht und nur die fehlenden Größen von Dreieck ABC gesucht sind.

Beispiel b) ohne Kosinussatz:

s_c / sin(α) = b / sin(δ_1) mit δ_1 = Winkel CDA

δ_1 = 45,504°

δ_2 = 180° - δ_1 = 134,496° mit δ_2 = Winkel BDC

c_1 / sin(γ_1) = s_c / sin(α)

c_1 = 3,313

Berechnung von β:

(1) β + γ_2 = δ_1 ⇔ γ_2 = δ_1 - β

(2) sin(β) / s_c = sin(γ_2) / c_2

(1) in (2)

sin(β) / s_c = sin(δ_1 - β) / c_2

Additionstheorem für den Sinus:

(c_2 / s_c) * sin(β) = sin(δ_1) * cos(β) - cos(δ_1) * sin(β)

sin(β) ausklammern:

((c_2 / s_c) + cos(δ_1)) * sin(β) = sin(δ_1) * cos(β)

sin / cos = tan:

tan(β) = sin(δ_1) / ((c_2 / s_c) + cos(δ_1))

tan(β) = sin(45,504°) / ((3,313 / 6,5) + cos(45,504°)

β = 30,51°

Damit sind die Winkel und 2 Seiten von Dreieck DBC bekannt und a kann mit dem Sinussatz bestimmt werden. Ich bezweifel aber, dass diese Lösung einfacher ist, als die Anwendung des Kosinussatzes.

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Unter der Voraussetzung, dass der obere Punkt auf der gegenüberliegenden Gewässerseite, der mittlere Punkt und der rechtwinklig 18 m vom Ufer abgesetzte Punkt auf einer Geraden liegen (diese Angabe fehlt), kann der Strahlensatz genutzt werden:

x / 15 = 18 / 30

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blaue Fläche (sichtbar nach dem Umklappen):

A = (1 / 2) * 10 * x

x = 10 * tan(α)

α = 90° - 2 * β

tan(β) = 10 / 20

Die Fläche setzt Du ins Verhältnis zur Gesamtfläche.

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Ich will dazu was sagen...

Es hilft am meisten, wenn man die Aufgaben versteht und eigenständig löst. Am Schluss kann man dann die Lösungen vergleichen.

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Beginne mit der linken Parabel und nehme als Basis die Scheitelpunktform. Nutze die Koordinaten von S, um die Scheitelpunktform aufzustellen und setze die Koordinaten von Q ein, um den Steigungsfaktor a zu bestimmen.

Setze den x-Wert von P ein, um den zugehörigen y-Wert von P zu bestimmen.

Die Ableitung liefert die Steigung in P. Das ist auch die Steigung in P für die rechte Parabel.

Gehe für die rechte Parabel von der Normalform aus und leite diese ab. Mit P, N und der Steigung in P kannst Du drei Gleichungen aufstellen, um die unbekannten Parameter a, b und c der zweiten Parabel zu bestimmen.

Damit liegen die notwendigen Werte für die Integralrechnung (Volumenberechnung) vor.

...

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Die Funktion liegt in der Scheitelpunktform vor. Den Scheitelpunkt kannst Du direkt ablesen: S (40│10) Damit hast Du das Maximum.

Nullstellen:

0 = (-1/200) * (w - 40)² + 10

Der positive Wert ist gesucht.

Schnittpunkt mit der h-Achse:

h(0) = (-1/200) * (0 - 40)² + 10

An welchen Stellen hat der Speer 8 m Höhe?

8 = (-1/200) * (w - 40)² + 10

Hier kommen 2 Lösungen für w heraus.

Welche Höhe hat der Speer nach 70 m?

h(70) = (-1/200) * (70 - 40)² + 10

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2 * x = x + x

2 * ln(5) = ln(5) + ln(5)

a^x * a^x = a^(x + x) = a^(2 * x)

e^ln(5) * e^ln(5) = e^(ln(5) + ln(5)) = e^(2 * ln(5))

Da e^ln(5) = 5 muss das das Produkt 25 sein.

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Die Variablen werden mit Indizes unterschieden. Du kannst auch x₁ = x und x₂ = y setzen, wenn das besser verständlich ist.

zu a)

Setze a = 6 ein und löse das Gleichungssystem. Du erhältst x₁ und x₂ abhängig von b.

zu b)

Für a = -6 wird die linke Seite der zweiten Gleichung gleich Null. Wenn die rechte Seite ungleich Null ist, gibt es einen Widerspruch und damit keine Lösung. Bestimme also b so, dass die rechte Seite der Gleichung Null ergibt, also 4 + 2b = 0. Dann fällt die zweite Gleichung weg und es gibt unendlich viele Lösungen. x₁ kann dann abhängig von x₂ bestimmt werden.

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Beispiel 1a)

1 / 2 = x / 10

Die Dreiecke sind ähnlich, sodass Du entsprechende Seiten ins Verhältnis zueinander setzen kannst.

...

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f(x) = x² – x , x₀ = 1

Differenzenquotient:

(f(x₀ + h) – f(x₀)) / h =

((x₀ + h)² – (x₀ + h) - (x₀² - x₀)) / h =

(x₀² + 2 * x₀ * h + h² – x₀ – h - x₀² + x₀) / h =

(2 * x₀ * h + h² - h) / h =

2 * x₀ + h - 1

Differentialquotient:

lim(h → 0) (2 * x₀ + h – 1) = 2 * x₀ - 1

für x₀ = 1

lim(h → 0) (2 * 1 – 1) = 1

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Funktionsgleichung:

f(x) = a * x * (x - 7) * (x - 11)

P (3│4,3) einsetzen:

4,3 = a * 3 * (3 - 7) * (3 - 11)

a = 43 / 960

f(x) = (43 / 960) * x * (x - 7) * (x - 11)

a)

Gesucht ist die Fläche unter der Kurve.

∫ (43 / 960) * x * (x - 7) * (x - 11) dx von 0 bis 10 = 15,677...

11000 Liter + 15,677 * 1000 Liter = 26677 Liter

b)

t = 0 Minimal (zu Beginn, da Zulauf)

t = 7 Maximal (ab da Ablauf)

c)

Setze das Integral gleich 15 und bestimme die obere Schranke.

Die liegt bei ca. t = 4,5.

d)

Das gilt im Bereich des Abflusses, also z.B. bei t = 8.

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1) AB mittels Kosinussatz

2) α (Dreieckswinkel in A) mittels Sinussatz

3) Höhe h = t mittels Sinus

4) Höhenfußpunktabschnitt (Abschnitt von A zum Höhenfußpunkt) mittels Kosinus

5) AP mittels Differenz zu 40

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Du hast nicht alle Bedingungen ausgewertet.

Funktion und Ableitungen:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

Es gibt 4 Bedingungen und 4 Unbekannte.

Bedingungen:

(1) f(0) = 3

(2) f'(0) = 0

(3) f(1) = 5

(4) f''(1) = 0

Gleichungssystem:

(1) d = 3

(2) c = 0

(3) 5 = a + b + 3

(4) 0 = 6a + 2b

--------------------

Es reduziert sich auf ein LGS mit 2 Unbekannten.

Das führt zu a = -1 und b = 3. c und d sind ja schon bekannt.

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Beachte die ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke, die durch die Höhen h_a, h_b und h_c entstehen.

Voraussetzung: c_2 geht über A hinaus.

Strahlensatz:

h_b / h_c = a_1 / a_2

h_c / h_a = b_1 / b_2

h_a / h_b = c_1 / c_2

-------------------

(h_b / h_c) * (h_c / h_a) * (h_a / h_b) = (a_1 / a_2) * (b_1 / b_2) * (c_1 / c_2) = 1

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2t -t³ = t - t²

t³ - t² -t = 0

t * (t² - t - 1) = 0

t_1 = 0

t² - t - 1 = 0

t = (1 / 2) +-√((1 / 2)² + 1)

t_2 = (1 / 2) * (1 + √5)

t_3 = (1 / 2) * (1 - √5)

Werte für t einsetzen und zugehörige x- und y- Werte ermitteln.

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Bilde die Differenz der beiden Funktionen, also f(x) - g(x) und bestimme davon das Maximum.

Das funktioniert mittels Differentialrechnung (Ableitung gleich Null setzen) oder einfach, indem der Scheitelpunkt der Differenzfunktion bestimmt wird.

Zum Vergleich: Der größte Abstand liegt bei x = 35

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