So wie Du das hingeschrieben hast, müsstest Du n! durch k1! teilen und anschließend das Ergebnis dieser Division mit k2! und den evtl. weiteren ki! multiplizieren. Das ergibt keinen Sinn. Bitte setze Klammern! Innerhalb Punktrechnungen wird immer von links nach rechts abgearbeitet.

Deine Frage möchte ich nur für den Fall i=2 beantworten. Für i=3, ... ergibt sich das dann unmittelbar.

Du hast Deine gesammelten Objekte also auf n! verschiedenen Weisen angeordnet. Nun sind k1 Objekte in einer Kategorie, in der die Reihenfolge egal ist, und diese Objekte hast Du (nachdem Du die anderen k2 Objekte in Gedanken mal rausgenommen hast) dabei auf k1! verschiedene Weisen angeordnet. Für jede Deiner n! Anordnungen gibt es also k1!, die als identisch betrachtet werden, also bleiben n!/k1! Anordnungen, die als unterschiedlich betrachtet werden. Und nun hast Du aber für jede dieser Anordnungen auch die k2 Objekte der 2. Kategorie auf k2! Weisen angeordnet, die wiederum als identisch betrachtet werden, damit bleiben n!/k1!/k2! = n!/(k1!*k2!) Anordnungen übrig.

Du kannst Dir, vielleicht einfacher, die ganze Sache auch ohne den Zähler n! überlegen: Wieviel gemeinsame Anordnungen gibt es, in einem Strang k1 Objekte der 1. Kategorie und in einem anderen Strang k2 Objekte der 2. Kategorie anzuordnen: Zu jeder der k1! Anordnungen der 1. Kategorie gibt es k2! Anordnungen der 2. Kategorie, sodass Du multiplizieren musst.

Nimm als Beispiel die Zahlen 1 bis 5 und betrachte die geraden Zahlen als eine Kategorie und die ungeraden als die 2. Kategorie.

Oder schau in https://www.mathebibel.de/permutation-mit-wiederholung#beispiele

"Die variablen sind normalverteilt" - ich sehe nur eine Variable, und die ist nicht normalverteilt, sondern lognormal (allerdings ist dann ln(y) normalverteilt).

Aber welche Teile von a) bis d) sind unklar?

Die loglikelihood Funktion bei einer Dichte f mit Parameter µ, f(y;µ), ist ja einfach

, wenn die {yi}, i=1,...,k, die Stichprobe bilden, und das solltest Du ja ausrechnen bzw. umformen können, sowie die Ableitung nach µ bilden und 0 setzen; analog für sigma². Damit hättest Du a) und b).

Für c) und d) müsste ich mehr Zeit investieren, da alles schon so lange her ist

Du hast recht, wie Du auch unten in der Tabelle siehst

Beides möglich. Beim Liniendiagramm muss klar sein, dass die Zwischenwerte keinen Sinn ergeben, aber das ist eigentlich klar, wenn man sieht, dass es gerade Linien zwischen Nachbarjahren sind

"von den Jungs und die die Mathe mögen" - was ist das für ein komisches und falsches Deutsch. Ich bin normal kein Pfennigfuchser, aber das finde ich unverständlich. Grammatikalisch richtig wäre "von den Jungs und denen (oder denjenigen), die Mathe mögen", aber auch das wäre inhaltlich völlig unklar. Bezieht sich dann "denen" auf die vorher genannten Jungs oder sind da alle Menschen mit dabei, hier wohl zusätzlich Mädchen. Im 1. Fall wäre es der Anteil der Mathe mögenden Jungs in einer Klasse oder Schule oder was auch immer, im 2. Fall wäre es der Anteil derer, die Jungs sind oder die Mathe mögen (mit dabei die Mathe mögenden Jungs, aber auch die Jungs, die Mathe nicht mögen, sowie Mädchen, die Mathe mögen).

Siehe auch meine Antwort auf Deine gestrige Frage.

Betrachte als Beispiel die beiden Ereignisse, die jeweils ihre Wahrscheinlichkeiten P(W) und P(S) haben:

W: Ein junger Mensch zwischen 20 und 30 wohnt bei seinen Eltern

S: Ein junger Mensch zwischen 20 und 30 studiert.

Sicher gilt 0<P(W)<1, 0<P(S)<1

Nun kannst Du die gemeinsame "Und-Wahrscheinlichkeit" P(W und S) bilden. Da es sicherlich Menschen gibt, die nicht bei ihren Eltern wohnen, und auch welche, die nicht studieren, gilt sicher 0<P(W und S)<P(W) und 0<P(W und S)<P(S).

Betrachtest Du nun nur W-Menschen und willst wissen, wieviele von denen studieren, setzt Du das Ereignis W praktisch auf 100%, W ist dann die Bedingung. Hier gilt dann 0<P(S|W)=P(W und S)/P(W)<P(W)/P(W)=1 (sprich P(S|W) als P von S gegeben W), das ist die bedingte Ws.

Ich kenne übrigens den Ausdruck Und-Wahrscheinlichkeit nicht, es könnte eine eigene Bezeichnung Deines Lehrers sein. Er könnte damit aber auch etwas ganz Anderes meinen, nämlich die Addition von Ws, deren Ereignisse sich gegenseitig ausschließen, z.B. dass ein Mensch zwischen 20 und 29 ist und dass ein Mensch zwischen 30 und 39 ist, oder dass mit einem Würfel eine 2 und dass eine 3 geworfen wird

Eine Normalverteilung ist eine stetige Verteilung und kann theoretisch zwischen 2 Werten, die vorkommen, jeden anderen Wert annehmen, z.B. die Körpergröße aller Menschen (Ob die normalverteilt ist oder einer anderen stetigen Verteilung folgt, ist eine andere Frage). Eine Binomialverteilung kann nur 2 Werte annehmen, z.B. 0 oder 1, A oder B, kleiner als 1,75 und mindestens 1,75, schmeckt gut oder schmeckt nicht gut, ja oder nein, ...

Beides möglich. In der Lösung werden erst die herausgesucht, die jeweils die eine Krankheit haben aber die andere nicht, Du zählst praktisch die mit beiden Krankheiten doppelt und nimmst sie einmal wieder raus

Wie Du auf die 0,585 kommst, ist mir ein Rätsel; wie Du überhaupt aus diesen Zahlen eine Gesamt-Standardabweichung berechnen willst ebenso.

Aber zum relativen Fehler: Egal, was Du für einen einzelnen Messwert als Fehler hast oder auch die Standardabweichung als Fehler nimmst, dies ist der absolute Fehler, wird hier gemessen in g (Fehlerwert-1,82). Diesen Wert müsstest Du mit 1000 multiplizieren, wenn Du ihn in mg ausdrücken willst. Nicht so beim relativen Fehler, der ist einfach Fehler / Referenzwert, also hier Fehler / Mittelwert, und dieser Quotient verändert sich nicht, wenn Du Fehler und Referenzwert mit der gleichen Zahl multiplizierst - also Messeinheit änderst.

(3): In (1) und (2) sind die Stichproben genau gleich groß: n=10. In (1) ist allerdings (theoretisch) die Grundgesamtheit unendlich groß, und die Wahrscheinlichkeit für eine Person, in die Stichprobe zu geraten, ändert sich nicht, wenn schon eine gezogen wurde (zumal ja nicht ausgeschlossen ist, dass dieselbe Person nochmal gezogen wird). In (2) ändert sich die Wahrscheinlichkeit für jede weitere Person, da dieselbe ja nicht nochmal gezogen werden kann.

Ich kann Segler1968 nur bestätigen, möchte aber zusätzlich betonen, 3 von 15 (20%!!!) zu ignorieren, wäre schon happig.

Die, die beide Nebenwirkungen haben, sind sowohl bei denen mit der einen Nebenwirkung dabei wie auch bei denen mit der anderen Nebenwirkung, sind also doppelt gezählt, muss man also einmal wieder rausnehmen. P("Kopfschmerzem") heißt ja nicht nur Kopfschmerzen und keine andere Nebenwirkung, sondern Kopfschmerzem egal was sonst noch

Wenn die zusätzlichen Messungen aus der gleichen Grundgesamtheit wie die bisherigen stammen (und sonst macht die Stichprobenvergrößerung keinen Sinn), ändert sich die Standardabweichung der Grundgesamtheit natürlich nicht. Die aus der ursprünglichen und der erweiterten Stichprobe stammenden Standardabweichungsschätzungen unterscheiden sich in der Regel, und zwar erwartungsgemäß umso weniger, je größer die ursprüngliche Stichprobe ist. Systematisch verringert sich aber der Standardfehler, also die Schwankungsbreite der Mittelwertschätzungen, bei vergrößerter Stichprobe, er ist nämlich die durch Wurzel(n) geteilte Standardabweichung der Grundgesamtheit

Frage 2: Person 2 kann nicht unabhängig von der Platzwahl der Person 1 ihren Sitz auswählen, es sei denn, sie dürfte sich bei Person 1 auf den Schoß setzen.

Frage 3: Unabhängig sind 2 Ereignisse, wenn das Eintreten des einen Ereignisses nicht die Ws für das andere Ereignis verändert. Z.B. das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln, verändert (unter dieser Bedingung) die Ws dafür, eine Zahl zwischen 1 und 3 gewürfelt zu haben: wenn Du {2, 4 oder 6} hast, ist die Ws. dabei {1, 2 oder 3} zu haben, nur noch 1/3, und zu zwei Drittel (nämlich bei 4 und 6), ist {1, 2 oder 3} nicht dabei.

Addieren kann man Ws, wenn man eine Gesamtmenge von Ereignissen hat, deren Ws zusammen 1 oder 100% ergibt und die sich gegenseitig ausschließen, z.B. die Einzel-Ereignisse 1 bis 6 eines Würfels. Was wäre denn bei Deinem Beispiel die Gesamtmenge und was schließt sich aus?

Vorsicht mit Formulierungen: "ich betrachte jetzt als merkmal die anzahl der richtig gelösten Aufgaben" - es gibt 10 Aufgaben, 10 (mindestens 1mal) richtig gelöste Aufgaben sowie 10 (mindestens 1mal) falsch gelöste Aufgaben, nämlich die Aufgaben 1 bis 10, die jede mindestens 1 mal richtig und mindestens einmal falsch gelöst wurden.

Bevor man eine Statistik macht, sollte man klären, was man wissen will, bzw. wenn man eine Tabelle vorfindet, sollte man versuche herauszufinden, was der Autor zeigen/wissen wollte.

Bei 32 Schülern und 10 Aufgaben könnte man von jedem Schüler wissen wollen, wieviele von den 10 Aufgaben er richtig gelöst hat; dann müsste aber für jeden der 32 Schüler eine Zahl dastehen. Oder man könnte von jeder Aufgabe wissen wollen, wieviel Schüler die richtig gelöst haben. Das kann man hier tatsächlich ablesen: 18 von 32 Schülern haben die 1. Aufgabe richtig gelöst, sind 18/32 oder 56,25%, das ist hier die relative Häufigkeit für Aufgabe 1 richtig, 14/32 oder 43,75% für falsch.

Insgesamt habe ich hier 10 Merkmale (Aufgaben) mit ihren beiden Ausprägungen richtig und falsch, jedes Merkmal wurde in einer Stichprobe mit 32 Subjekten (Schülern) erhoben.

Es erschließt sich mir überhaupt nicht, was für eine Fragestellung hinter den 173 richtig gelösten Aufgaben stecken könnte. Natürlich kann man hier eine Rangfolge der 10 Merkmale bilden nach der Anzahl der richtigen Lösungen, und dazu nimmt man die absoluten oder die relativen Häufigkeiten, das ist hier völlig gleichwertig. Hätte ich unterschiedlich viele Schüler bei den Aufgaben, so kann man nur mit den relativen Häifigkeiten vergleichen.

Wenn Du in die https://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilungstabelle schaust, ist die Fläche unter der Kurve (die ja von -∞ bis +∞ 1 ist) von -∞ bis +1 0,84134, also bleiben von +1 bis +∞ noch 0,15866 übrig. Aus Symmetriegründen ist die Fläche von -∞ bis -1 auch 0,15866, sodass Du außen 0,31732 und innen zwischen -1 und +1 0,68268 hast. Hättest Du nun ein Konfidenzintervall von 68,268% gewählt, wären Deine Grenzen -1 und +1 richtig. In der Regel wählt man aber 95% (90%, 99%), sodass Du rechts und links jeweils nur 2,5% (5%, 1%) der Fläche haben darfst, also musst Du schauen, bei welchem x die Fläche von -∞ bis x 97,5% (95%, 99,5%) ausmacht und erhältst x=1,96 (1,64, 2,58)

In Deinem Monopol-Fall ist der Gini-Koeffizient 1, also auch G10=G100: Er ist 0 für vollkommene Gleichverteilung (keine Differenzfläche) und 1 für vollkommene Ungleichverteilung, d. h. wenn nur eine Person das gesamte Einkommen hat (Alles ist Differenzfläche) (aus https://de.wikipedia.org/wiki/Gini-Koeffizient)

Für c) musst Du folgende Ws addieren:

6 bei 1. Wurf
n.6 bei 1., 6 bei 2. Wurf
n.6 bei 1. und 2., 6 bei 3. Wurf usw.

Bei d) hast Du die Ws (1/6)^2*(5/6)² für die 6er an 2 festgelegten Positionen. Das musst Du multiplizieren mit der Anzahl möglicher Positionen. Für die 1. 6 hast Du 8 Positionen, für die 2. dann noch 7, aber Vorsicht, damit hast Du erlaubt, dass dass die Position der 2. 6 auch vor der 1. sein kann (1. 6 auf Pos.2, 2. 6 auf Pos.1), also musst Du noch durch 2 teilen, zusammen 8*7 / 2 = 8 über 2 = 8! / (2!*6!)

Du kannst z.B. in https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=b8cc2fa57dd610b03b73d15d473f0a54 die Ws von 0-x und von y-25 ausprobieren, bis Du beide unter 0,025 hast.

Oder Du addierst in https://www.nibis.de/nli1/gohrgs/13_zentralabitur/mathe/2008tabelle_binomialverteilung_neuneu.pdf für n=25 in Spalte p=0,6 (schau auf die letzte "Unterschriftszeile", nicht auf die Überschriftzeile) die kleinsten und die größten k (schau auf die rechte Spalte k, nicht die graue linke (die gilt für die graue Überschriftszeile)) jeweils sovile, dass Du gerade noch unter α/2 = 0.025 bleibst, Du musst ja die 5% Ablehnung auf 2,5% oben und 2,5% unten verteilen

Eigentlich hast Du doch alles korrekt hingeschrieben. Das einzige etwas Unstimmige ist, dass Du entweder einen 2seitigen Signifikanztest auf dem 5%-Niveau machst, dann hast Du richtig die rechte Seite mit 33-50 als Ablehnung erkannt, musst aber auch 0-17 in den Ablehnungsbereich mitnehmen, oder Du machst einen rechtsseitigen Signifikanztest auf dem 2,5%-Niveau, dann wäre die Nullhypothese, die Du ja ablehnen möchtest, aber Anteil männliche <=0,5 und nicht =0,5. Aus dem Fragentext entnehme ich aber, dass die Hypothese =0,5 ist. Und dann hast Du mit 30 nicht enthalten in {0,1,2,...,17,33,34,35,...,50} keinen Grund, die Nullhypothese der Gleichheit abzulehnen