Relationen von Mengen?
Hallo,
ich habe eine Aufgabe zu Relationen, die ich leider nicht ganz verstehe.
Also in der Aufgabe soll man für eine zweielementige Menge A alle Relationen raussuchen. Als zweite Teilaufgabe soll man herausfinden welcher der Relationen reflexiv, transitiv und symmetrisch bzw. antisymmetrisch sind.
Ich habe bis jetzt alle 16 Relationen aufgeschrieben, als Beispiel:
(a,b)
(b,a)
(a,b),(a,a)
...
Kann mir jemand erklären, wie ich die Relationen herausfinden kann, da ich nicht ganz verstehe wie man z.B. x~y und y~z => x~z anwendet?
Danke im voraus!
4 Antworten
Kann mir jemand erklären, wie ich die Relationen herausfinden kann, da ich nicht ganz verstehe wie man z.B. x~y und y~z => x~z anwendet?
Du musst im Grunde alle Möglichkeiten testen, zwei Tupel aus der Relation zu wählen. Du schaust dann, ob diese beiden Tupel die linke Seite der Implikation erfüllen (also dass die Tupel die Form (x,y) und (y,z) haben. Wichtig: x,y,z müssen nicht unterschiedlich sein das paar (a,b) und (b,a) hat zum Beispiel die vorgegebene Form) und dann musst du prüfen, ob dann die rechte Seite erfüllt ist, also ob das Tupel (x,z) in der Relation ist.
Andere Frage:
Da es ja ein kartesisches Produkt ist wird es in Tupel aufgeschrieben. Aber die Relation ist ja auch übergreifend in die andere Tupel oder?
Und wenn z.B. (b,b),(a,b) dann gibt es ja nur die Möglichkeit dort für x,y,z einzusetzen:
a,b,b
Und das stimmt dann ja, da a~b steht. Stimmt das so?
Und eine letzte Frage:
Ist eine Relation nur dann reflexiv, wenn (a,a) oder (b,b) bzw. (a,a),(b,b) drin vorkommt?
Also z.b. sind die nicht reflexiv:
(a,b),(b,a)
(a,b),(b,a),(a,a)
Und als erfänzung:
Man kann doch für z.B. die Relation (a,b) nur eine Anordnung von x,y,z, also a,b,b, finden oder? Kann man die Reihenfolge in den Tupeln nicht ändern, also nicht a,b,a schreiben?
Danke für die Antworten!
Aber (a,b),(b,a) ist doch auch nicht transitiv, aber da ist die Anordnung von a~b und b~a doch genau richtig in den Tupeln. Wieso ist das dann falsch?
die Menge aller möglichen Relationsanordnungen B von einer Menge A={a,b} ist hat doch nur 2^2 Einträge oder? also:
B={(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}
Ohne der Angabe spezifischer Relationen kann keine Angabe bzgl. Transitivität, Reflexivität oder Symmetrie gemacht werden.
ja, das wären dann 1+ 4^1 + 4^2 + 4^3 + 4^4 Relationen oder?
Ne, 16. Wenn B n Elemente hat, dann hat die Potenzmenge von B 2^n Elemente. Da B 4 Elemente hat, erhälst du somit 16 Relationen.
aber die Menge einer Relation kann doch auch weniger als 4 Elemente haben bzw. die leere Menge sein?
Ja, die Leere Menge ist auch eine Relation. Die ist auch in den 16 Mengen drin.
Dein B ist eine der möglichen Relationen. Es sollen jedoch alle möglochen Relationen Betrachtet werden. Die Menge aller Relationen über A wäre hier gleich der Potenzmenge von B.