Hilfe Hagen-Poiseuille Aufgabe?

Schreibe bald Physikalische Chemie Klausur und bin total am verzweifeln mit dieser Aufgabe.

Bin wahnsinnig dankbar für jegliche Hilfe/Ansätze oder Tipps :)

Danke Im Voraus!!

Answer 1

[mihisu]

Du hast in deriner Frage bereits das Gesetz von Hagen-Poiseuille gennant.

Dieses lautet für inkompressible Flüssigkeiten...

$\dot{V}=\frac{\pi\cdot r^4}{8\cdot \eta\cdot l}\cdot \underbrace{\left(p_\text{Eingang}-p_\text{Ausgang}\right)}_{\Delta p}$

Bzw. wenn man das Volumen im Vorratsbehälter betrachtet führt der Volumenstrom zur Abnahme des Volumens im Vorratsbehälter. Dementsprechend erhält man dann ein anderes Vorzeichen, wenn man mit V das (weniger werdende) Volumen im Vorratsbehälter bezeichnet, also die Änderungsrate des Vorratsvolumens betrachtet...

$\dot{V}=-\frac{\pi\cdot r^4}{8\cdot \eta\cdot l}\cdot \Delta p$

Ich würde nun zunächst die Druckdifferenz Δp berechnen. Diese entspricht dem Schweredruck des Wassers im Behälter. Bedenke dabei jedoch, dass der Druck mit kleiner werdender Wassersäulenhöhe abnimmt.

$\Delta p=\rho\cdot g\cdot h$

Des Weiteren hat man das Wasservolumen...

$V=\pi\cdot r_\text{Behälter}^2\cdot h$

... im zylinderförmigen Behälter. Dabei ist der Behälter-Radius konstant, nur die Füllstand-Höhe nimmt ab. Daher erhält man für die Änderungsrate des Vorratsvolumens...

$\dot{V}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}V=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\pi\cdot r_\text{Behälter}^2\cdot h\right)=\pi\cdot r_\text{Behälter}^2\cdot \frac{\text{d}h}{\text{d}t}$

Eingesetzt in die Hagen-Poiseuille-Gleichung...

$\overbrace{\pi\cdot r_\text{Behälter}^2\cdot \frac{\text{d}h}{\text{d}t}}^{\dot{V}}=-\frac{\pi\cdot r^4}{8\cdot \eta\cdot l}\cdot \overbrace{\rho\cdot g\cdot h}^{\Delta p}$

$\rightarrow\quad \frac{\text{d}h}{\text{d}t}=-\frac{r^4\cdot \rho\cdot g}{8\cdot \eta \cdot l\cdot r_\text{Behälter}^2}\cdot h$

Das ist eine Differentialgleichung erster Ordnung mit der Lösung...

$\rightarrow\quad h=h_0\cdot \exp\left(-\frac{r^4\cdot \rho\cdot g}{8\cdot \eta \cdot l\cdot r_\text{Behälter}^2}\cdot t\right)$

Auflösen nach der gesuchten Zeit t...

$h=h_0\cdot \exp\left(-\frac{r^4\cdot \rho\cdot g}{8\cdot \eta \cdot l\cdot r_\text{Behälter}^2}\cdot t\right)$

$\rightarrow\quad \exp\left(\frac{r^4\cdot \rho\cdot g}{8\cdot \eta \cdot l\cdot r_\text{Behälter}^2}\cdot t\right)=\frac{h_0}{h}$

$\rightarrow\quad \frac{r^4\cdot \rho\cdot g}{8\cdot \eta \cdot l\cdot r_\text{Behälter}^2}\cdot t=\ln\left(\frac{h_0}{h}\right)$

$\rightarrow\quad t=\frac{8\cdot \eta \cdot l\cdot r_\text{Behälter}^2}{r^4\cdot \rho\cdot g}\cdot \ln\left(\frac{h_0}{h}\right)$

Da man statt den Radien die Durchmesser gegeben hat, kann man das noch entsprechend mit Durchmessern umformulieren. [Also r = d/2 einsetzen...]

$\rightarrow\quad t=\frac{8\cdot \eta \cdot l\cdot \left(\frac{d_\text{Behälter}}{2}\right)^2}{\left(\frac{d}{2}\right)^4\cdot \rho\cdot g}\cdot \ln\left(\frac{h_0}{h}\right)$

$\rightarrow\quad t=\frac{32\cdot \eta \cdot l\cdot d_\text{Behälter}^2}{d^4\cdot \rho\cdot g}\cdot \ln\left(\frac{h_0}{h}\right)$

Nun noch die gegebenen Werte einsetzen...

$\rightarrow\quad t=\frac{32\cdot 1\text{,}0\,\text{mPa}\cdot\text{s} \cdot 20\,\text{cm}\cdot \left(5\,\text{cm}\right)^2}{\left(0\text{,}5\,\text{mm}\right)^4\cdot 1\text{,}0\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}\cdot 9\text{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\cdot \ln\left(\frac{10\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}\right)$

$\rightarrow\quad t=\frac{32\cdot 1\text{,}0\cdot {10}^{-3}\,\text{Pa}\cdot\text{s} \cdot 20\cdot {10}^{-2}\,\text{m}\cdot \left(5\cdot {10}^{-2}\,\text{m}\right)^2}{\left(0\text{,}5\cdot {10}^{-3}\,\text{m}\right)^4\cdot 1\text{,}0\cdot {10}^{3}\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot 9\text{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\cdot \ln\left(\frac{10\cdot {10}^{-2}\,\text{m}}{5\cdot {10}^{-2}\,\text{m}}\right)$

$\rightarrow\quad t\approx 18088\text{,}24\,\text{s}\approx 5\,\text{h}$

Ergebnis: Die gesuchte Zeit beträgt etwa 5 Stunden.

Comments

[eterneladam]

Respekt für die Mühe. Ich habe es nicht nachgerechnet. Wenn ich hätte schätzen müssen, wäre ich wohl nicht so hoch gegangen. Bin halt kein Physiker.

[CoraXX436]

Mir fällt gerade eine riesige Last von den Schultern. VIELEN DANK!!<3

[LeBonyt]

Absoluter Respekt.

[isohypse]

So genau wollte ich es in meiner Antwort nicht schreiben, denn der Fragesteller soll auch bisschen was selber tun :-)

Answer 2

[isohypse]

Der Volumsstrom durh das Rohr ist

$\frac{dV}{dt}\ =\ \frac{1}{R}\cdot\Delta p$

R hängt von den Rohrdimensionen und der Viskosität ab, die Druckdifferenz ergibt sich aufgrund der Wassersäule

$\Delta p\ =\ \rho g\ h$

Somit ist alles gegeben, was du benötigst.