Äquivalenzrelationen?
Hi ich habe folgende Aufgaben die ich lösen soll . Das Ding ist ich weiß, dass ich zeigen muss, dass das jeweils reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, aber ich weiß nicht wie ich das zu Blatt bringen soll.
- {(x,y)∈R×R ∣ y=0 oder (y≠0 und x/y=1)}
- {(U,V)∈Pot(Z)×Pot(Z) ∣ es gibt eine bijektive Abbildung U→V} auf Pot(Z)
1 Antwort
Ja, so ist das mit der mathematischen Sprache. Das erste was du bei diesen Aufgaben verstehen mußt ist überhaupt zu wissen was da ausgesagt wird. Ich nehme mir mal die zweite vor, weil die nun wirklich sehr abstrakt ist.
(U, V) € Pot(Z)xPot(Z) bedeutet das U und V Elemente der Potenzmenge von Z sind, also Teilmengen von Z. Zwei Teilmengen U und V von Z sollen also "äquivalent" im Sinne der Relation sein wenn es (mindestens) eine bijektive Abbildung f von U nach V gibt.
- Die Relation ist reflexiv. Jede Teilmenge U steht zu sich selbst in Relation, denn die identische Abbildung id, die jedem Element x € U gerade x zuordnet, ist bijektiv.
- Wenn es eine bijektive Abbildung f von U nach V gibt, dann gibt es ebenso eine bijektive Umkehrabbildung f^(-1) von V nach U, d.h. Wenn U in Relation zu V steht, steht auch V in Relation zu U, mit anderen Worten die Relation ist symmetrisch.
- Wenn es bijektive Abbildungen f von U nach V und g von V nach W gibt, so ist die verkettete Abbildung g°f eine bijektive Abbildung von U nach W (dies ist zu beweisen wenn noch nicht eingeführt!). Wenn also U in Relation zu V und V in Relation zu W steht, so steht auch U in Relation zu W. Die Relation ist also auch transitiv.
Damit ist die Relation aus 2. tatsächlich eine Äquivalenzrelation. Bei der 1. machst du genau das selbe. Du überlegst dir zunächst WAS überhaupt mit dieser Relation ausgesagt wird und erst dann zeigst du die Eigenschaften.
Mathematische Sprache ist schwierig, und sie kommt im Mathematikunterricht der Oberstufe viel zu kurz. Du mußt sie immer wieder üben, sonst verlierst du schnell den Überblick und den Anschluß.